项目特征曲线模型（ICC, Item Characteristic Curve Models）
ICC常用三个数学模型来表示，每个模型采用一个或多个项目参数。
一、ICC曲线数学模型
1. 双参数模型(The Two-Parameter Model)
在IRT理论下，ICC的标准数学模型是 logistic函数的累积形式 Logistic 函数于 1844 年由 Pierre François Verhulst 首次推导出来， 1950 年代后期首次被用作 ICC项目特征曲线的模型，并且由于其简单性，已成为首选模型。双参数IRT模型：
$$P(\theta)=\frac{1}{1+e^{-L}}=\frac{1}{1+e^{-a(\theta-b)}}$$
其中：$b$表示项目难度; $a$表示项目区分度(Item Discrimination); $L=a(\theta-b)$是是逻辑偏差（logit）; $\theta$表示能力水平。
项目难度参数，用$b$ 表示，定义为能力量表上对项目做出正确反应的概率为 0.5的点。该参数值的理论范围是 $-\infty \leq b \leq+\infty$，实践中，通常情况取值范围 为$-3 \leq b \leq3$。
ICC曲线的斜率随着能力水平$\theta$的变化而变化，并在$\theta=b$时达到最大值，定义该处的斜率来表示项目区分度。在双参数模型下，$\theta=b$处的实际斜率是$a/4$，将$a$ 视为$b$处的斜率是可接受的近似值，因此参数$a$用于表示项目区分度参数。该参数值的理论范围是$-\infty \leq a \leq+\infty$ ，实践中常取 $-2.8 \leq b \leq2.8$。
2. The Rasch Model
Rasch模型由丹麦数学家 Georg Rasch提出。该模型假设所有项目区分度为1，即在双参数模型中，项目参数$a=1$，只有项目难度参数$\theta$可以取不同的值。因此，Rasch 模型通常被称为单参数逻辑模型。 Rasch 模型的方程由下式给出：
$$P(\theta)=\frac{1}{1+e^{-1(\theta-b)}}$$
3. 三参数模型(The Three-Parameter Model)
上述两个模型没有考虑考生在答题过程中猜对题目的情况，Birnbaum (1968) 在双参数逻辑模型基础上增加了一个参数$c$，该参数表示猜测对题目的概率。在这样的过程中，虽失去了一些逻辑函数的一些数学特性，但由此产生的模型还是称为三参数逻辑模型，三参数模型的方程为：
$$P(\theta)=c+(1-c) \frac{1}{1+e^{-a(\theta-b)}}$$
其中，$c$表示猜对概率。
要注意的是根据定义，$c$ 的值不会随着能力水平的变化而变化。因此，能力最低和能力最高的考生通过猜测猜对题目的概率可能相同。参数$c$ 的理论范围为$0 \leq c \leq 1.0$，但实际上高于 0.35 的值被认为是不可接受的，在实际中$0 < c < 0.35$。
使用猜测参数 $c$ 使项目难度参数的定义发生了变化。在前两个模型中，项目难度 $b$ 是能力量表上对项目做出正确反应的概率为 0.5的点。在三参数模型中，ICC曲线下限不为0，而与参数$c$有关，$P(\theta)$范围 $c \leq P(\theta) \leq 1.0$，项目难度 $b$ 对应能力量表上项目做出正确反应的概率为$P(\theta)=c+(1-c)(0.5)=(1+c) / 2$的点。
三参数模型中，仍用$a$表示项目区分度，但$\theta=b$处的实际斜率是$a(1-c)/4$。
项目参数 b 和 a 定义的这些变化看起来很小，但在解释测试分析结果时很重要。
二、负区分度(Negative Discrimination)
大多数测试项目都会以积极的方式(positive manner)进行区分，即随着能力水平的提高，正确反应的概率增加，但一些项目具有负区分度。在此类项目中，正确回答的概率随着能力水平从低到高的增加而降低。如图1：
图1 双参数ICC(b = 0， a = -0.75)
通常情况下区分度应为正值，出现负值说明测试项目可能存在问题。
三、 项目参数的口头术语（Verbal Terms）
1. 区分度参数
表1 用于描述项目区分度的标签
在ICC曲线的逻辑模型下解释项目区分参数时，这些关系成立。若想解释正态卵形(normal ogive)模型下的项目区分度参数，对应值除以 1.7。
2. 项目难度参数
根据经典测试理论，项目难度是相对于一组考生定义的。同一项目可能对一组人来说很容易，而对另一组人却很难。根据IRT理论，项目的难度是能力量表上正确回答概率为0.5的点（三参数模型为$(1+c) / 2$的点）。
解释项目难度参数的方法是根据项目在能力量尺上的作用。项目特征曲线的斜率在项目难度参数对应的能力等级处最大，即项目可最大化的区分处于该能力水平附近的考生，因为可以说该项目在这一能力水平上发挥作用。例如，难度为-1的项目在能力较低的考生中发挥作用， +1 表示在较高能力的考生中起作用。
三参数模型下，猜测参数c的数值直接解释为概率。例如，c=0.12 仅表示在所有能力水平下，正确猜测题目的概率为0.12。
四、R语言ICC
icccal <- function(b, a, c) {
if (missing(c)) c <- 0
if (missing(a)) a <- 1
theta <- seq(-3, 3, 1)
L <- a * (theta - b)
expnl <- exp(-L)
opexpnl <- 1 + expnl
P <- c + (1 - c) / opexpnl
data.frame(theta, L, expnl, opexpnl, P)
}
icc <- function(b, a, c) {
if (missing(c)) c <- 0
if (missing(a)) a <- 1
par(lab=c(7,3,3))
theta <- seq(-3, 3, .1)
P <- c + (1 - c) / (1 + exp(-a * (theta - b)))
plot(theta, P, type="l", xlim=c(-3,3), ylim=c(0,1),
xlab="Ability", ylab="Probability of Correct Response")
thetai <- b
pthetai <- c + (1 - c) / (1 + exp(-a * (thetai - b)))
vliney <- seq(0, pthetai, .01)
vlinex <- b + vliney * 0
lines(vlinex, vliney, lty=2)
}
icccal(b=-1.0, a=1.7)
icc(b=-1.0, a=1.7)
