项目反应理论
项目反应理论（Item Response Theory, IRT）是一系列心理统计学模型的总称，是针对经典测量理论(Classical Test Theory，简称CTT) 的局限性提出来的。
在许多教育和心理测量情况下都有一个潜在的变量，这个变量往往是可以直观理解的东西，比如“智力”、“阅读能力“和“算术能力”等描述性术语。这些都是不可观察的，潜在的特征。虽然它们很容易描述，但它们不能像身高或体重那样直接测量，因为变量是一个概念而不是物理维度。教育和心理测量的主要目标是确定一个人拥有多少这种潜在特征。由于大多数研究都涉及学术、阅读、数学和算术能力等变量，因此在项目反应理论中使用通用术语“能力”来指代这些潜在特征。
如果要测量一个人具有多少潜在特征，则需要有一个测量尺度。基本思想是，如果可以从物理上确定一个人的能力，则可以使用此标尺来判断一个人具有多少能力，并且可以比较几个人的能力。理论上的能力范围是从负无穷到正无穷，但实际考虑通常将值的范围限制在 3 到 -3 之间。
IRT用学生能力值$\theta$与题目难度$\delta$的函数来表示学生答对题目的概率。 该函数定义的是一个机率模型，取值介于0到1之间，当学生的能力值越高，所对应的函数值也越高，换句话说，如果学生能力值越高，他答对该题的机率会越高。函数图形近似于S型曲线。
一、项目特征曲线（ICC, Item Characteristic Curve）
根据IRT理论，每个考生都具有一定程度的潜在能力，该能力用字母$\theta$ 表示 。在每个能力水平上，具有该能力的考生都会有一定的概率给出正确答案。这个概率将用 $P(\theta)$ 表示。对于一个的测试题目，$P(\theta)$ 对于能力低的考生来说会很小，对于能力高的考生概率会很大。如果将$P(\theta)$ 绘制为能力$\theta$的函数，则结果将是一条平滑的 S 形曲线，如图 1 所示，这条 S 形曲线描述了对一个项目的正确回答的概率与能力之间的关系。在项目反应理论中，它被称为项目特征曲线ICC。测试中的每个项目都有自己的项目特征曲线。
- 不同项目难度（Item Difficulty）和不同项目区分度(Item Discriminatio)的特征曲线
上图2中，最上边的曲线表示一个简单的项目，因为较低能力考生的正确回答概率很高，而高能力考生的正确回答概率接近 1。中间曲线代表一个中等难度的项目；最下边曲线代表较难项目。对于能力范围大多数在-3到3的考生，回答正确的概率很低，即使在显示的最高能力水平（即$\theta=3$）下，正确概率仅为 0.8，只有在达到更高的能力水平时才会增加正确概率。
图3中，正能力范围上方曲线具有高的区分度，该曲线在中间非常陡峭，其中正确响应的概率随着能力的增加而变化非常快。中间曲线代表具有中等项目辨别水平的项目。这条曲线的斜率远小于前一条曲线，并且随着能力水平的提高，正确响应的概率变化也不如前一条曲线那么显着。第三条曲线表示区分度较低的项目。曲线的斜率非常小，正确反应的概率在所示的能力范围内变化缓慢。即使在能力水平较低的情况下，正确反应的概率也相当大，并且只有在达到高能力水平时才会略微增加。
图4项目特征曲线在$\theta=1.5$处垂直线的左侧，正确响应的概率为零，而在该线的右侧，正确响应的概率为 1。因此，该项目完美区分了高于和低于1.5能力得分的考生。但是，该项目对于能力在 1.5 以上的和 1.5 以下的考生没有区别。
二、项目难度和项目区分度的口头术语（Verbal Terms）
在项目反应理论的中，为了让对项目特征曲线及其属性有一个直观的理解。项目难度和项目区分度将在口头上定义。
项目难度将有以下等级：
very easy
easy
medium
hard
very hard
项目区分度分以下等级：
none
low
moderate
high
perfect
三、R语言绘制不同的项目特征曲线
bveryeasy <- -2.625
beasy <- -1.5
bmedium <- 0
bhard <- 1.5
bveryhard <- 2.625
anone <- 0
alow <- 0.4
amoderate <- 1
ahigh <- 2.1
aperfect <- 999
iccplot <- function(b, a) {
par(lab=c(7,3,3))
theta <- seq(-3, 3, .1)
P <- 1 / (1 + exp(-a * (theta - b)))
plot(theta, P, type="l", xlim=c(-3,3), ylim=c(0,1),
xlab="Ability", ylab="Probability of Correct Response")
}
iccplot(beasy, amoderate)
par(new=T)
iccplot(bmedium, amoderate)
par(new=T)
iccplot(bhard, amoderate)