教育统计中的常见问题（六）

二项分布

二项分布：$n$次独立试验中，每次试验某事件出现的概率为$p$，某件事不出现的概率为$q$(等于$1-p$)，则对于某件事出现$X$次的概率分布为：
$$b(x, n, p)=\mathrm{C}_{n}^{x} p^{x} q^{n-x}= \frac{n !}{x !(n-x) !}$$
若$X$是服从二项分布的随机变量，则$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$
二项分布满足 $p < q,np \geqslant 5$或$p>q,nq \geqslant 5$时，二项分布接近正态分布。

二项分布在教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。

例1：判断题是否是猜测作答

有10道判断题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题才能认为不是出于猜测因素？

猜错与猜对的概率 $p=q=0.5,np =5$，此二项接近正态分布。
$
\mu=n p=10 \times 0.5=5, \
\sigma=\sqrt{n p q}=\sqrt{10 \times 0.5 \times 0.5}=1.58
$
由正态分布概率，当Z=4.645时，该点以下包含全体的95%
用原始分数表示$\mu+1.645 \sigma=5+1.645 \times 1.58=7.6=8$，即10道题中猜对8道题以下的可能性为95%，猜对8-10道题的概率只有5%。因此可以推论说答对8道题以上者不是凭猜测（但做此结论，仍然有5%的可能会犯错。）

此问题可以直接用R语言中binom()二项分布函数计算。

# qbinom(p, size, prob)
qbinom(0.95,10,0.5) # 8

例2：选择题是否是猜测作答

有10道单项选择题，每题4个选项，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题才能认为不是出于猜测因素？

此题中 $n=10, p=0.25,q =0.75, np<5$，应采用直接用二项分布函数计算。

qbinom(0.95,10,0.25) # 5

猜对题数与概率

p <-  0.25
n <- c(10,15,30,40,60)
n_q <- qbinom(0.95,n,p)
n_p <- pbinom(n_q -1,n,p,lower.tail = F)

题目总数(单选4选1)	猜对题数	大于猜对题数概率
10	5	7.8%
15	7	5.7%
30	12	5.1%
40	15	5.4%
60	21	5.4%

p <-  0.5
n <- c(10,15,30,40,60)
n_q <- qbinom(0.97,n,p)
n_p <- pbinom(n_q -1,n,p,lower.tail = F)

题目总数(判断对错)	猜对题数	大于猜对题数概率
10	8	5.5%
15	11	6.0%
30	20	5.0%
40	26	4.0%
60	37	4.6%