R语言中的统计分布函数

正态分布

R语言中与正态分布有关的函数有四个，分别为dnorm,pnorm,qnorm和rnorm，其中，dnorm表示密度函数，pnorm表示分布函数，qnorm表示分位数函数，rnorm表示生成随机数的函数。

dnorm

dnorm：正态分布的概率密度函数(PDF,Probability Density Function)。d表示density，norm表示正态。

正态分布的公式如下所示：
$$f(x | \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$$
dnorm函数会返回上式的值。如果是标准正态分布，$\mu = 0,\sigma=1$。
$$f(x | \mu, \sigma)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$

# 标准正态分布
# mean=0,sd=1 默认值可省略
dnorm(0,mean=0,sd=1)  #  0.3989423 
# 非标准正态分布
dnorm(2, mean = 5, sd = 3) # 0.08065691 


# PDF曲线
z_scores <- seq(-4,4,0.1)
z_scores
# 计算z_scores的概率密度
dvalues <- dnorm(z_scores)
dvalues
# plot
plot(z_scores,dvalues, 
     type = "l",
     main = "pdf of the Standard Normal",
     xlab= "Z-score") 

pnorm

pnorm：正态分布的累积概率密度函数(CDF,Cumulative Distribution Function)，p表示Probability，计算$P[X ≤ x]$的概率。
lower.tail参数默认True，如果lower.tail = FALSE，返回的$P[X > x]$的概率（即pnorm(q) = 1-pnorm(q,lower.tail=FALSE)）

在R中，pnorm()这个函数完全可以取代正态分布表。

# pnorm()默认的参数与dnorm()一样，都是标准正态分布
pnorm(0)  # 0.5 

# lower.tail参数
pnorm(2, mean = 5, sd = 3)  #  0.1586553
pnorm(2, mean = 5, sd = 3, lower.tail = FALSE)  #  0.8413447
1 - pnorm(2, mean = 5, sd = 3, lower.tail = FALSE)  #  0.1586553 

用一组Z-scores计算一下相应的累积概率：

z_scores <- seq(-4,4,0.1)
z_scores

pvalues <- pnorm(z_scores)
pvalues


plot(pvalues, 
     xaxt = "n", # 不绘制x轴的刻度
     type = "l", # 使用曲线将各点连接起来
     main = "标准正态分布的CDF曲线",
     xlab= "分位数(Quantiles)",
     ylab="概率密度(Probability Density)") 

# 以下是添加x轴的刻度
axis(1, at=which(pvalues == pnorm(-2)), labels=round(pnorm(-2), 2))
axis(1, at=which(pvalues == pnorm(-1)), labels=round(pnorm(-1), 2))
axis(1, at=which(pvalues == pnorm(0)), labels=c(.5))
axis(1, at=which(pvalues == pnorm(1)), labels=round(pnorm(1), 2))
axis(1, at=which(pvalues == pnorm(2)), labels=round(pnorm(2), 2)) 

qnorm

qnorm可视作pnorm的反函数，计算正态分布中的第p分位对应的Z-score。

例如计算在标准正态分布分布中，第50百分位的Z-score是多少？

qnorm(0.5)   # 0

pnorm(qnorm(0)) # 0

rnorm

rnomr()函数的功能用于生成一组符合正态分布的随机数，它的参数有n,mean，sd，其中n表示生成的随机数，mean与sd分别表示正态分布的均值与标准差。（runif生成的是均匀分布的随机数）

# 随机数种子
set.seed(100)

# 生成5个服从标准正态分布的随机数
rnorm(5)

# 生成1000个，服从均值为70，标准差为5的正态分布的随机数
n10000 <- rnorm(100, mean = 70, sd = 5)

# plot
par(mfrow=c(1,2))
hist(n10000, breaks = 20) 
d <- density(n10000)
plot(d)

其它分布

在R中与之类似的函数还有很多，具体的可以通过help(Distributions)命令去查看。

分布	中文名称	R中相应函数	参数
Beta	贝塔分布	beta(a,b)	shape1、shape2
Binomial	二项分布	binom(n,p)	size、prob
Cauchy	柯西分布	cauchy()	location、scale
Chi-square	卡方分布	chisq(df)	df
Exponential	指数分布	exp(lambda)	rate
F	F分布	f(df1,df2)	df1、df2
Gamma	伽玛分布	gamma()	shape、rate
Geometric	几何分布	geom()	prob
Hypergeometric	超几何分布	hyper()	m、n、k
Logistic	逻辑分布	logis()	location、scale
Negative binomial	负二项分布	nbinom()	size、prob
Normal	正态分布	norm()	mean、sd
Multivariate normal	多元正态分布	mvnorm()	mean、cov
Poisson	泊松分布	pois()	lambda
T	t分布	t()	df
Uniform	均匀分布	unif()	min、max
Weibull	威布尔分布	weibull()	shape、scale
Wilcoxon	威尔考可森分布	wilcox()	m、n

上述分布函数前面加上r，p、q、d就可以表示相应的目的：

• r：相应分布的随机数；
• d：相应分布的密度函数；
• p：相应分布的累积概率密度函数；
• q：相应分布累积概率密度函数的反函数。

参考资料

Introduction to dnorm, pnorm, qnorm, and rnorm for new biostatisticians